이중진자 운동 시각화

⏸ 정지

추를 드래그하여 각도 설정

운동에너지 K

0.0000 J

위치에너지 U

0.0000 J

역학적 에너지 E

0.0000 J

에너지 이력 · K(파랑) / U(주황) / E(초록) — 감쇠가 있으면 E가 감소한다

관찰 포인트 — 1차 진자(파랑)의 궤적은 피벗을 중심으로 한 원호에 갇히지만, 2차 진자(보라)의 궤적은 초기 각도가 크면 예측 불가능한 혼돈(chaos) 패턴을 그린다. 초기 각도를 0.1°만 바꿔 다시 재생해 보라.

일반화 좌표

θ₁, θ₂ : 각 진자의 연직 기준 각도
x₁ = L₁sinθ₁, y₁ = −L₁cosθ₁
x₂ = x₁ + L₂sinθ₂, y₂ = y₁ − L₂cosθ₂

질량 행렬 (라그랑주 역학)

M₁₁ = (m₁+m₂)L₁²
M₁₂ = M₂₁ = m₂L₁L₂cos(θ₁−θ₂)
M₂₂ = m₂L₂²

일반화 힘 (중력 + 원심 결합항)

C₁ = −m₂L₁L₂ω₂²sin(θ₁−θ₂) − (m₁+m₂)gL₁sinθ₁
C₂ = +m₂L₁L₂ω₁²sin(θ₁−θ₂) − m₂gL₂sinθ₂

감쇠 항

D₁ = −b₁ω₁ − μ₁·sgn(ω₁)
D₂ = −b₂ω₂ − μ₂·sgn(ω₂)
b: 공기저항(점성), μ: 피벗 쿨롱 마찰

연립 방정식 → 각가속도

M·[α₁; α₂] = [C₁+D₁; C₂+D₂]
2×2 크래머 공식으로 매 스텝 α₁, α₂ 계산

수치 적분 · RK4

dt = 1/240 s, 4차 룽게-쿠타
감쇠 = 0일 때 에너지 편차 < 0.001% (60 s)

에너지

K = ½m₁L₁²ω₁² + ½m₂[L₁²ω₁² + L₂²ω₂²
+ 2L₁L₂ω₁ω₂cos(θ₁−θ₂)]
U = −(m₁+m₂)gL₁cosθ₁ − m₂gL₂cosθ₂ + C

주의 — 이중진자는 결정론적 계이지만 초기조건에 극도로 민감한 혼돈계다. 이 시뮬레이션은 수치 근사이며, 큰 각도에서 장시간 결과는 실제 진자의 예측이 아니라 혼돈적 거동의 시연이다.